女儿数学学习路线图及我对数学学习问题的一些思考

2岁半～3岁：逻辑思维训练（《逻辑狗》、《益智的游戏书》），获得的能力：观察能力、理解能力、推理能力

3岁～4岁：数学入门启蒙（《阶梯数学》3岁、4岁、5岁、6岁阶段），获得的能力：书写能力、思维能力、举一反三的能力、毅力和意志力、专注力

4岁～4岁半：夯实基础（《幼儿奇迹数学》3岁～6岁三个阶段），获得的能力：思维能力、推理能力、熟练度、自信心

5岁～9岁：扩展学习（人教版《数学》2、3、4年级），获得的能力：自主学习能力、纠错能力、熟练度、扩展能力

逻辑思维培养先行

在和女儿一起进行亲子阅读的时候，我发现她对于逻辑推理、益智类的书非常感兴趣。或许是因为通过大量地阅读故事书，让她具备了基本的逻辑理解力，这种逻辑理解力不仅能够让她读懂故事，还能让她理解益智类书籍中所蕴含的简单逻辑。所以在玩的过程中，她总是能正确理解书中的题目要求，并根据自己的推理判断，准确地得出答案，还可作出合理的解释。

这就启发了我，是时候让女儿将这些含有大量逻辑思维训练的书作为数学的入门读物来读了，因为里面的游戏设置包含了一定的逻辑思维训练和一些常见的数学概念讲解，最关键的是作者巧妙地将这些内容设计到游戏中，不枯燥无趣，反而妙趣横生，让女儿非常有兴趣去揣摩和思索。

女儿在玩这些游戏的过程中，不仅在锻炼着她的逻辑思维能力，还加深了她对基础数学概念的理解。书中的内容非常符合两岁多女儿的天性，总是会让她小小的内心产生共鸣，收获很多意想不到的能力，如观察能力、理解能力、推理能力、思辨能力和纠错能力。

这其实是一个从知觉到心理的固化过程，将可感受的东西通过理解和思考后固化到脑中，表面上看女儿只是做了一个逻辑游戏，其实她的大脑中的某几部分区域却产生了本质的变化，完成了一个复杂的思维过程。经过不断的重复，这种大脑中的变化便被固化了下来。 

两岁多的女儿特别喜欢玩的是《逻辑狗》，很快她就将第一阶所有的题目都做完了，接着又一遍遍地重复玩了不知多少次，对里面的题目早已牢记于心。第一阶段的内容包含找相同、找不同、走迷宫、按物点数、按顺序数数、区分图形、穿衣搭配，很多游戏都与生活息息相关，所以女儿在玩的时候，不觉得有丝毫的无聊，反而一直兴趣很浓厚，即使重复做了多次也不受影响。

之后我又买来了《逻辑狗》的第二阶段，女儿在玩的时候速度明显比做第一阶段时快了很多，准确率也更高，在玩的过程中，她也在学着将第二阶段的内容与第一阶段的内容做比较，比较出它们的难易差别，增加了哪些内容等等。

因为有了做第一阶段的经验，所以在做第二阶段后面几册的时候，对于三岁多的女儿来说已经没有什么难度，她的兴趣也在慢慢地减少。我在陪着她玩的过程中，确实也感觉到对于女儿来说，第二阶段的难度比第一阶段没有增长很多，跨度也不是很明显，对于已经掌握了基本逻辑推理方法的女儿来说，不能很好的满足她渴望继续提升的需要。所以我决定再为女儿寻找新的能够替代它的书来读。

可见在选择这方面的书籍的时候，难易程度显得尤为重要，要比女儿的水平高出那么一点点最好，太难或太简单，都会让她失去兴趣，而不能继续坚持。我想这点在学习方面应该也是通用的，关键就是要把握好这个难易的度，把握得好了，学起来才会始终保持持久的热度，从而有所收获。

除了《逻辑狗》，女儿还长时间地反复玩过五味太郎《益智的游戏书》，也是将里面的每一页都玩到烂熟于心。另外还辅助玩了一些走迷宫、拼图、找不同等类似的游戏。

借助《阶梯数学》入门和启蒙

在寻觅的过程中，我发现了一套评价非常好的幼儿数学启蒙书籍《阶梯数学》，作者是韩国的朱慧兰女士，这套书分为三岁、四岁、五岁和六岁不同阶段，每个阶段又由五个小阶段组成。

在我陪女儿做这套书的过程中，可以看出作者深刻地了解儿童的心理和学习的规律，总是能够从细微处激发孩子的兴趣，启发他们对于数学本身的思考和领悟。书中题目内容的设定也是采用循序渐进的方式，安排得非常科学合理，也充分考虑到幼儿的认知能力，让他们做起来没有任何的畏惧感。

女儿如获至宝一般，很快就将这套书当成了她的新宠，着迷到能够整天都做数学书上的题目，三岁阶段五本全部做完后，又用橡皮把写好的答案擦掉，会重新再做一遍，就这样一遍又一遍地做。她每天早上醒来、午睡醒来第一件事就是做数学题，一直坐在小书桌前，甚至都不愿意起来吃水果，也不愿意到户外活动。这套书也成为真正意义上的她的第一套数学启蒙教材。

家长长时间地与孩子进行一对一的相处，非常有助于提升孩子的注意力，比如一起做游戏，一起读书画画。所以陪着女儿一起做数学题，顺带还培养了她的专注力。

也就是在三岁多做《阶梯数学（3岁）》的时候，女儿开始学着使用铅笔书写数字，从开始的不知怎样握笔，到熟练地写出0～9这十个数字，对于她来讲是一个飞跃。当时我就在想，学写数字是多么枯燥的一件事啊，为什么女儿还会这么乐此不疲呢。

后来我才明白，对于我们成人来说简单至极的事，对于三岁的女儿来说却是个挑战，就像是她当初学着使用筷子一样，是要在一次又一次地尝试，掌握了书写的要领后，才能够写出来的。

显然她在这个过程中付出了许多的努力，也从来没有因为某个小挫折或小失败而打过退堂鼓。通过反复的书写，女儿锻炼了她的手部力量，手指也变得更加灵活。但最主要的是，女儿成功地体验到付出才会有收获，练习才能掌握的道理，并将它们作为自己可在人前夸耀的战绩，又一次体会到了巨大的成就感。

后来我才知道这就是儿童心理学家常常讲到的掌控感，孩子在学着掌控了一件事情时，会增加他的喜悦和进一步的行动，会让他变得更加的主动，充满了积极情绪地去继续探索，从而学到更多新的技能和解决问题的方法，这对于孩子的成长来说是非常有益的。

上面说到的《阶梯数学》这套书的神奇之处，还在于它的确能够启发女儿对于数学的思考。在做数字0的练习时，书中通过反复的举例和比较，让女儿真正明白了0的含义，不仅如此，她还将0的含义扩展到了生活中的很多方面。比如女儿知道0就是没有，什么都没拥有的意思，接着还想到没人和她一起玩了也许也是0，什么都看不见也许也是0，头脑中什么都没想也许也是0，0也是可以被看作是拥有的事物，只不过拥有的数量是0而已。

女儿把抽象的概念变得具体，之后又把它们变得抽象，这些数学概念在女儿的头脑中得到了一次完美的升华。在学到加法和减法的概念时，书中也是通过对象的逐步增加和减少的过程来帮助女儿理解的，她能够通过练习，真正地理解加减法的含义，并完成简单的运算。

之后，我又为女儿买来了《阶梯数学（4岁）》的五个阶段，女儿又开始一阶一阶地做起来，到她三岁四个月的时候，就已经做完了四岁阶段五册的全部内容，速度之快让我始料不及。

这样做的结果是，她在数数时越来越熟练，点数基本不会出错，连线、走迷宫的能力增强，默写十个数字全部正确，也不会再出现将6和9写反的情况。还会仿照书上的内容给我出一些数学题，然后她当老师来给我批改。

此时她能够将蒙特梭利的棕色梯、粉红塔、数棒等教具玩得很好了。在女儿开始做《阶梯数学（3岁）》阶段以前，我曾经拿出棕色梯、粉红塔这些蒙氏教具来给她玩，她不仅兴趣不大，也不能正确拼搭好，总是会出错，说明她的思维能力还达不到理解这些教具的水平。

 但在她用了四个月时间完成了这套书的3岁、4岁的全部内容后，不用我的演示和讲解，就能自己独立完成同样的教具，而且兴趣大增，会多次地重复玩，也不会觉得无聊。 

蒙氏的教具看似简单枯燥，里面实则蕴含了很多的数学思维，只有在掌握了这些数学思维后，才能够正确的玩好。而它的魅力也在于，一旦孩子掌握了操作它们的方法，就会乐此不疲地玩个不停，因为这些教具在某个时间点上，当孩子们准备好时，就能够和孩子完成一次完美的契合，让他们体会到操作的乐趣。在蒙氏教具直接的效果检验后，足见《阶梯数学》这套书的作用，我也很高兴地看到女儿真正地迎来了她的数学敏感期。 

我又趁热打铁地买来了这套书的5岁和6岁阶段的部分，虽然在理解方面女儿不存在什么问题，相反更加深了她对某些知识的认识，但是做题时的熟练程度明显比做4岁阶段时慢了一些。我想最大的原因可能是年龄问题，三岁多孩子的反应速度肯定比需要达到的五岁的水平是要差一些的。

可是不管怎样，女儿直到四岁的时候，还是完成了这两个阶段的所有内容，从而了解了数学最初的基本概念，也具备了一定的数学思维能力。尤其是女儿很自然地学会了举一反三，不仅能仿照书中的例子，编出她自己的题目，还能将其合理的发挥和运用。每次当女儿举出她自己的例子时，我知道她是真的理解和吸收了。后来她的这种举一反三的能力不仅被用在数学中，在生活的其它方面她也都能运用得很好。

比如当她知道人走路是需要产生摩擦力的，就能凭着自己的推断，判断出动物走路、汽车行驶、鸟儿飞翔，都是会有摩擦力产生的。这点实在是难能可贵，也是我最希望看到的。 

整整一年的时间，女儿完成了《阶梯数学》从三岁到六岁所有阶段的练习，她学到了多少数学知识其实并不重要，关键是这份坚持的毅力，每天做数学题已经成为了她的一个习惯，成为了她生活中不可缺少的一部分。

这份坚持就连成人有时都不能做到，何况一个三岁多的孩子，这是要有多大的兴趣驱动才能做到的啊！有时看着自己已经做过的那一摞摞的书，女儿也会小小的骄傲一下，她会对我说：“妈妈，这些书真的都是我做过的吗？我简直都不能想象啊。”就是在这种不知不觉中，女儿不仅完成了数学基础的入门，还收获了心智上的成熟。我会觉得她好像突然间长大了好多，思维更加灵活，考虑事情也更成熟，任性的行为也随之减少了许多。 

女儿的表现和她所呈现出的状态，彻底打消了我当初的顾虑，我曾经也担心过，如果过早让女儿学习数学，做大量的数学题是否会对年幼的女儿造成影响，让她太早地感受到压力，不利于她的成长。但事实却证明，只要引导得好，不进行任何形式的逼迫，女儿是非常愿意去做这件事的，并且做得很认真，也很投入，效果也是有目共睹的，而且从长远来看，也并没有对她以后的学习和生活造成什么不利的影响，反而还在很多时刻起到了意想不到的好的作用。

在学前班里的有些小朋友还在掰着指头数数、不能正确进行点数，甚至分不清6和9的时候，女儿已经能够进行较为复杂的加减运算了。其实我认为之所以会有这样的差别，并不仅仅是因为女儿起步比他们早，做的题比他们多，比他们付出更多时间和辛苦，更是因为她凭借自己的热情，按照由浅入深、由易到难地将相关的数学逻辑深植在了自己的头脑中，有了非常深刻的理解和认识，这个过程发生在她的头脑内部，显现在外部时就变成会写数字，会点数，会运算。

这些并不是我们表面看起来的那么简单，也不是我们通常认为孩子学习数学只是练习数数和运算就可以的。能否学好数学的关键，就在于是否逐步积累了这些看不见，摸不着的数学思维能力。作为家长更不能被孩子是否会数数，是否会运算的表面现象所迷惑，而只有那些深藏在脑中的思维能力才与他们在数学上能够走多远紧密相关。

在学习数学这件事情上，女儿始终作为主导，她的兴趣和坚持，是我辅助她学习数学的一个驱动力。我甚至慢慢喜欢上这种站在她身后的感觉，在她勇往直前的时候，我只是用我的判断帮她把握住方向，剩下的全部交给她自己，任由她自主掌控和支配。当她飞速前进的时候，我不会去阻拦，当她懈怠不前时，我也不会催促，我始终都是一个跟随者和配合者的角色。

后来我就在想，女儿性格的形成跟我的这种做法是否有很大的关系，女儿遇事很少会退缩，即使是明显地感觉到阻碍，她也会试着找出兴趣点和一定要完成的原因，然后凭借这些兴趣和原因的支撑，将困难一点一点地攻克。她性格中的那种大胆尝试，不怕失败，敢于冒险，充满好奇心的特点，对她适应新的环境，学习新的知识起到了很好的作用，并且她自始至终都非常地乐在其中。

用《奇迹幼儿数学》夯实基础

关于女儿做数学题这件事，到这里还没有结束，在她完成了整整三十本《阶梯数学》上的题目之后，我发现她还会时不时找出其中一本，随意翻看里面的内容，就知道她对于数学的兴趣仍然不减。所以我就又为她找来了《奇迹幼儿数学》的三到四岁、四到五岁和五到六岁三个阶段的书来继续满足她的好奇心和她对做数学题的渴望。

这套书每个阶段各有六册，我个人认为这套书不管是图画，还是内容都要比《阶梯数学》都要更胜一筹，其中的数学思维内容也更多，有很多题目是要在经过一定的思考后才能解答的。虽然两套书的内容也有一定的重复性，但女儿仍非常喜欢，拿到书后又马上开始做了起来。做这套书的过程，其实是对她之前学过的内容的一个复习和补充，也是一个必要的巩固过程。

女儿从四岁开始到四岁半，又用了半年的时间，完成了《奇迹幼儿数学》这套书所有阶段共十八册的内容。那时她掌握的数学相当于现行小学数学教材的人教版数学一年级（下）完结，二年级（上）开始的水平，已经超出她的年龄两个学年。因为她清楚地知道自己数学的真实水平，所以她的自信心因此极大地增强。

在她五岁到德国上学前班时，很自然地将数学作为一个她的强项，是同班同学无法相比的。在其他同学还在掰着指头数数的时候，她已经能够和老师配合完成难度较高的数学游戏了。但她却没有因此而骄傲，而是将在数学上的信心移植到了英语的学习中，她超前的数学能力对她学习英语是一个鼓舞。

那时她经常对自己说的一句话是：“虽然我现在的英语是班里最差的，但是我的数学是班里最好的，我的英语一定也会像数学一样，变得很好的。”那时，她总是会不断地用她的数学优势为自己加油打气。

现在想来，女儿三、四岁时学习数学的工夫真是没有白费，她不仅掌握了基本的数学思维和逻辑推理，还增强了自信心。当她面临从零开始学英语这个难关时，这个自信心起到了非常关键的作用。

在女儿的心中，是有着坚定的信念的，她始终相信自己一定能行，相信她的英语会越来越好。我和女儿还惊喜地发现，数学优势不仅给她提升了自信，还为她学习英语起到了切实的帮助。

在老师上数学课的时候，因为已经熟知老师所讲的内容，所以她更多的关注点，不是数学知识点，而是英语本身，这就使她能够更容易明白老师所讲的话和所说的词的含义，也更容易学会老师所说的句子和词语，学会老师的表达方法，所以她很快就掌握了和数学有关的英语内容。

显然我起初并没有预料到女儿提前学习数学会带来这样的好处，只是凭直觉跟着女儿的步伐走。那时由于她的年龄小，我更多地是关注对她数学思维的启蒙和培养，想要让她从心里真正地爱上数学，而不仅仅是简单意义上的算术。

人教版《数学》的扩展学习

女儿五岁后，对数学的兴趣仍然不减，但由于那时她的识字量有限，还不能自主学习，所以仍然是我陪着她学习人教版的小学数学教材。

她直接略过小学一年级部分，从二年级开始，每天的学习都不超过半小时。每次学完数学之后，女儿都会有一种意犹未尽的感觉，恨不得再延长些时间继续学。那时我们除了做一些书本里的配套习题外，还会根据课本的内容做一些相关的实践和练习。

如在学到四则混合运算的时候，我们会一起玩超市购物的游戏，她假扮成超市的收银员，我装作顾客来购买商品。而我在购买的时候，会故意出一些加减乘除都会用到的题目给她，让她来收钱找零。比如买了三个苹果，每个苹果2元钱，又买了四个梨，每个梨3元钱，然后给她20元钱，让她算好后，把相应的零钱找还给我。

这样既巩固了所学知识，又将数学运用到了生活中，一举两得。在学到长度单位、重量单位的时候，我们也会用尺子和电子秤来对家里的物体测长度和称重量，给女儿增加更多的感性认识。数学书中涉及到的动手操作部分，我们也都会认真操作完成。

她从来都不觉得数学是枯燥的，因为数学和生活息息相关这个认识已经深深的根植于她的脑海中，她知道数学来源于生活，反过来还会应用到生活中，比如超市购物、绘制地图、建造房屋、发射火箭等等。

她从小就明白，现在学的基础数学在生活中都会用到，它是为了让我们生活得更美好；将来她要学习到的高等数学和更深奥的数学知识，是为了更好地研究我们所居住的世界和浩瀚的宇宙做准备的。我认为让孩子从小就有一种学以致用的概念和认知是十分必要的，这样他们才会明白所学的东西并不是我们凭空想象出来的，不是对我们的生活毫无用处的，而是和我们的生活，乃至未来的发现和创造是息息相关的。

女儿对学习高等数学也充满了向往，有机会就会缠着我给她讲我当时学微积分、线性代数、概率论时的情形，她希望从我的讲述中能够对高等数学窥见一斑，认真得就像在听一个动听的故事一样，她是那么好奇这些数学到底都包含哪些内容，都是怎么被应用在生活中的。她还经常想象着未来自己也能像一个真正的物理学家、天文学家一样，通过自己对于这个宇宙的了解，也通过自己的所学，知晓更多的天体奥妙，也像他们一样能够有重大的发现。

在每完成一册数学书的学习后，女儿都会央求我继续开始下一册书的学习，虽然那时她对某些知识的掌握还不是很牢固，但是她在内容的理解上不存在问题。所以为了满足她的好奇心和探索欲，我们一册接着一册地学习，并没有进行额外的练习。这样到她七岁以前，就已经学完了二年级和三年级的全部数学课程。这时我发现，由于她缺少消化吸收的过程，熟练度越来越不能满足要求，所以决定暂停继续学习下面的内容，而开始做一些必要的习题来巩固所学内容。

在做练习题之前，女儿会把数学书再温习一遍，我不做任何的指导和帮助，目的是培养她自主学习和复习的能力。我发现已经可以进行中文独立阅读的女儿竟然能把数学书当成故事书来看，一拿起来就放不下了，非常地投入。之后还是每天半小时的习题时间，先是简单的按单元进行口算速算的练习，然后做每个单元的综合试卷，从最初的不能很好地理解题目，漏做题目，到后来越来越熟练，计算速度和准确率也跟着稳步提升上来了。

这样女儿从七岁开始，用了半年的时间，自主复习了二年级上、下册的数学书，并做了相应的练习。之后又开始了对三年级数学的自主复习，这时我发现，她的复习速度比之前的半年要快了很多，掌握程度也比之前要好很多，做起习题来更加得心应手，错误率也比较低。这就说明她的自主学习能力在不断地增强，已经从被动地吸收转换成了主动地学习。

能够让女儿独立完成自主学习，一直都是我最希望看到的，不管是数学，还是中文或英语。自主学习不仅意味着她能充分地发挥主观能动性，还能让她在不断地摸索中找到最适合她自己，也最行之有效的学习方法。说白了，就是让她学会自学，并有一套属于她自己的学习方法。

在遇到比较难的题目，或是不太理解的地方时，女儿也会来寻求我的帮助，此时我也不是一味地讲解，而是采取提问的方式，启发她的思考和理解，更多的时候我们采取的则是一种讨论的方式。这样她的参与感就会很强，做出题目后也会有成就感，而不是不会解题时感到的挫败感。

之后我还会让女儿做一件非常重要的事情，那就是凭借她自己的理解来给我讲解题目要求和解题思路，并把她脑中所想的内容用语言表达出来，同时说明自己的理由，还要仿照题目编出类似的问题来让我解答。如果她能够在讲解的过程中，清晰、正确地表达和描述，并且富有一定的逻辑性，那么基本可以断定，她此时是真正的理解透彻了。如果不能合理、明白地描述题目和解答方法，那就说明她还没有真正地理解到位，没有完全地搞懂，所以我们还要回过头去，重新理解和分析题目，从不同的角度来研究那些出了问题的题目。

对比传统的填鸭式教育，这种主动的学习过程更能引发思考，加深理解，化被动为主动，也更能体会到学习过程中的快乐。

由此可以看出，我的不只局限于书本的教法，对所学知识大胆地进行扩展和延伸，其实更有助于她对知识整体地理解和掌握，对女儿来说是再合适不过的了。她不仅可以跟上我的讲解，还能通过理解，明白并记住其中的含义，抓住精髓。

在她学到人教版四年级数学（上）中角的度量时，我们把角的概念扩展到优角和劣角，而不仅仅局限于书中所讲到的平角、周角等，这不仅没有让她感到困惑，反而还增进了她对角的概念的整体认识，起到了事半功倍、融会贯通的效果。

这种类似的扩展我还做过其它的，如讲到整数的时候，我也一并把正整数、负整数、正无穷、负无穷的概念讲给她听，她在听的过程中，不仅理解了应掌握的内容，还对数字王国充满了更多的好奇，她虽然不能完全想明白正无穷、负无穷到底是个什么样子，总是会对无穷这个概念追问不止，但是却觉得它们是那么的奇妙，还想要去继续探索和研究它们。

在讲到直线和射线的时候，我们也归纳总结了其它线的种类和特点，这样女儿在描述一些基本概念的时候，就不会把这些线的名称搞混，能够清晰而又准确地进行描述。

在讲到平行四边形时，我为女儿拓展了在同一个平面内的直线和不在同一个平面内的直线的概念，并试着向她解释同一平面内、不同平面内直线间的不同位置关系，本来需要用到很多空间想象能力才能理解的内容，没想到女儿很快就搞懂了，这不仅更让她感觉到数学的神奇，还帮助她很好地理解了平行四边形的基本概念。

我同样也扩展了平行四边形高的画法，让她不至于对于概念的理解那么片面和单一，原来平行四边形的高有很多条，而不仅仅是书中演示的那一种画法。

灵活的思维，延伸的思考，非常有助于女儿接受数学知识和探索数学奥秘，对于她真正地掌握基本的数学概念也是大有益处的。

可喜的是，女儿也学会了这个方法，她在学到小数的时候，自动将无穷的概念扩展开来，她可以自己思考出在1和2之间的小数的位数可以是无穷的，如1.230920……，同样2和3之间的小数也可以，从而推断出其它任一小数的位数也可以是无穷的。在学到减法的时候，她由20-6自然地想到了6-20，运用之前知道的负数概念，很快就能得出相应的-14的结果，对于题目和结果的理解也很正确。

多么完美的数学知识延伸啊，这就让我不由得地感叹，只要我们敢于给予孩子更多的思考空间，大胆地让他们接触未知的世界，他们的接受能力和理解能力往往会远远超出我们的想象，我们要做的只是要多给他们创造这样的机会。

这就是女儿的家庭课堂的最大好处，我这个妈妈作为老师能够确实地做到对女儿的因材施教，我可以根据她的接受程度对知识进行适当的拓展和巩固。

我想只要我大胆地放手让她去探索，去想象，她的学习效果会比传统的照本宣科的讲授方式得到的效果要来得更好。同时女儿学习数学的过程也打破了我对固有教学方法的认知，从而激发了我采用另一种较为灵活的思路和方式来讲授知识的想法。

我和女儿互相启迪对方的智慧，互相学习和进步，我因此也从女儿身上学习到了很多，这就是所谓的教学相长啊！ 

会算多少题其实并不是最重要的，凭借自己的理解能够掌握数学思维和基本方法，学会思考和推断，这是我尤为看重的，所以我为女儿感到由衷的高兴。女儿在得到我的肯定后，也更加坚定了要将数学学好的决心。而我也相信因为她一直以来都保有着这份渴望，凭借着她的努力和热情，定能实现自己的目标，并从中获得真实的快乐。

下面是我对女儿数学学习中遇到的几个问题的思考和见解：

1、选择西方教材还是中国教材

该如何选择女儿五岁之后的数学教材？我在多方考量后，最终决定还是选择人教版的数学教材。

其中最主要的原因，是为了回国后数学学习上的无缝衔接。其次，通过对比欧美的数学教材和中国教材，我发现其实它们涵盖的内容基本相同，只是侧重点略有不同，中国的教材还显得更精练一些，脉络也更清晰一些。

但就是因为这种精练，更要求在学习的过程中，要进行更多的自主思考，分析消化书中的内容。否则不能很到位地理解它们的含义，女儿就不会真正地学会其中的内容，在做练习题时就会出错。学习的过程中，这个必要的思考起着决定性的作用，也是应该着重培养的。 

我认为学生之所以在学习成绩上会有差别，其实区别主要就在这个思考的环节上，理解能力和分析能力的不同，导致对知识点的掌握上也存在偏差，而不单单是指表面上的做对多少题，做错多少题那么简单。这种思考和领悟的能力，是学好数学的关键所在。
 

西方的数学教材的进度相对中国教材来说，比较缓慢，目的是用足够的时间将一个内容讲通、讲透，从各方面来进行讲解，习题同类性也很强，往往几十道习题都在练同一个内容，进阶性和难度提升都不明显，挑战性就要差一些。这种讲解对于一般学生来说，是有好处的，但是对于学有余力的学生来说，反而会慢慢磨灭掉他们的兴趣，起到相反的作用。

2、到底该如何把握做题的量

题海战术的确能够锻炼做题的熟练度和准确度，但是对于数学思维的培养作用其实并不明显。题目做得越多，耗费的时间也就越长，不利于真正能力的提升。但是如果没有必要的熟练度和准确度，不仅在考试中会失利，久而久之也会影响自信心。所以，该如何把握好一个适合孩子的题量，也是一个需要关注的问题。

虽然女儿也会做一些数学试卷，但我从不在准确率上过分地要求她，只是作为对所学知识掌握程度的一个检测。通过做一些数学题能够反应出她理解还不到位，掌握还不牢固的地方，从而进行再复习和练习来加深理解。

所以女儿每次做题时没有什么压力，出现不会解答的问题时，她也不会慌张，因为我们的目的是要找到问题、解决问题，在这个过程中学会真正的思考是最重要的，至于做了多少题，做对了多少题，不是我们的重点。

这样即使她做习题时的准确率不是百分之百，她也不会有过多的负担，只是要尽己所能做到最好。但我们从不会放过由于知识点没有掌握而做错的题目，肯定要分析错误出现的原因，进行剖析讲解，最后还要反复多次练习直到最终掌握为止。
 

3、是否真的存在“马虎”的问题

在我和女儿一起分析错题的过程中，我发现她之所以会犯错，还是因为对于题目和知识点没能很好的理解，即使是那些看似非常简单的题目。

很多人会认为学生所犯的那种低级错误，是因为马虎不仔细，不够认真造成的，我认为其实不然。比如看错运算符号的问题，女儿经常会犯这样的错是在最初学习乘法时，会错把乘号看成加号。其实这并不是因为马虎，而是她脑中有个惯性思维，对于加法和减法印象深刻，还没有将乘法也纳入进来。随着对乘法更熟悉和理解，乘法在她的头脑中也占有一席之地后，她就基本上不再犯看错符号的错误了。 

比如女儿有时会经常在一个章节中，重复地犯类似的低级错误，也不是因为不认真，而是对这个章节的内容还没有真正地理解，等到我们再对这个章节的内容重复复习和思考后，她就再不犯那些类似的错误了。 

再比如我总是会将女儿一个阶段出现的错题重新抄写一份再让她来做，结果发现即使是比较简单的题目，再次重复做的时候她还是做不对，这就更不是马虎的问题了，不同时间在同一个题目上因为马虎而出错两次以上似乎不太能解释得通。这就提醒了我和女儿，认真对待每一道做错的题目，因为出错都是有原因的，不能简单地用“马虎”来敷衍了事。出错并不可怕，关键是要找出出错的缘由，从根本上杜绝再犯。 

出错还与没有进行必要的检查有关系，所以我和女儿商定，在做练习题时，不要贪图做很多，但是在做完后，要进行验算和检查。经过女儿检查后的习题，错误率大大地降低了，很多时候可以达到零错误率。她也从中体会到了检查的实际好处，也渐渐地养成了这个好习惯。检查本身也是一种能力，有些题目检查的过程其实就是逆运算的过程，起到能让人更清楚地理解知识点的作用。

4、适当的进度与融会贯通

回顾女儿学习数学的过程，进度算是比较快的，在一个阶段学习完成，对整体内容有了清楚的认识后，再回过头来进行复习，做细化巩固练习。我发现这样做其实是一个融会贯通的过程，学习后面内容的同时，也能引发对前面所学的重新思考。关于学习的进度问题，我认为是越快越好，只要是在能够承受的范围内，适当地提高下学习的速度，其实对于理解和掌握是有好处的。

这点不仅适用于数学的学习，在我和女儿学习中文、英文时也有类似的情形出现。慢工不一定出细活，进度如果过于慢的话，最容易被消磨掉的就是兴趣。没有了兴趣，学习的效果就会大打折扣。如果在某一阶段我发现女儿接受得很快，就会加快些进度，如果她接受起来有些问题，则会暂缓进度，这样可以始终保持她对于学习数学有一个持续的热情，能够有助于她真正地爱上探索数学这个未知而又奇妙的世界。 

女儿学习数学一直保持在超前的状态，具体超前多少则完全取决于她自己，实际情况是她的水平超前于同龄的中国小学生，更超前于德国学校的同年级的同学很多。到女儿八岁上国际学校三年级的时候，开始参加学校的Measures of Academic Progress（简称MAP）考试，这是学校为数不多的考试之一，只有三年级以上的学生参加。

考试采取机考的形式，题目都是自适应的，系统会根据学生回答问题的准确与否来调整后面题目的难易程度。所以如果题目越做越难，则预示着考试的成绩会比较好；相反，如果题目越做越简单，则预示着成绩并不十分理想。考试结束后会有一个结果报告，包含各科分数、平均分数、排名百分比和学生进步情况，比较的是所有参加该考试的世界范围内的同年级学生。 

她三年级上学期第一次参加这个考试的时候，数学的分数是220分，所有三年级学生的平均分数是190分，她的排名在前1%。这个排名百分比意味着她掌握的数学难度已经远超其他参加考试的同学。她考试回来后，曾与我讨论考试的情况，说的确感觉题目好难，有些根本是她没有学到的。

例如她的题目中有估算角的度数的问题，她曾经只学习过角的初步知识，包含直角、锐角、钝角的区分和辨别，图形中有哪些种类的角等，但没有学过角的度数测量，只是我在讲到角的时候，顺便提及了一下。如锐角的角度范围，钝角的角度范围，大概什么样的角的度数是多少等等，之后也没有做过类似的练习。她仅凭对我提到的这些内容的记忆和推理在答题，选择的是她认为最接近的答案，而且这类题目在考试中还不只出现了一次。 

在这种难度自适应的考试中，特别能够看出一个学生掌握所学知识的真实情况，以及他是否吃透了那些内容，并将它们进行了必要的扩展，因为这种考试的难度实际上是没有上限的，学生可以尽情地发挥自己的水平。对于基本概念理解得越深入，扩展得也就越好，即使是没有学过的内容，学生也可以运用自己的逻辑推理能力尝试着去解答，并且丝毫没有畏难的情绪。

女儿在参加三年级的MAP考试时，做了一些多位数的乘法后，还遇到了一些除数是两位数的除法试题，类似64／16＝？这样的题目，也是她没有学到过的。她给我描述了她的答题思路，先用被除数除以除数的十位，然后再用被除数除以除数的个位，再把两个近似的结果相加，选择了一个最接近的答案。她解释她是仿照两位数的乘法来逆推回来的。因为乘法里的确是可以这样计算的，如32最12＝？，可以先用32乘以10，再用32乘以2，然后把两个结果相加就是最终的答案。 

虽然她的除法解题思路是不正确的，最终计算的结果也是错误的，但女儿敢大胆从乘法逆推到除法的想法着实还是让我吃了一惊。首先她的大胆尝试就已经证明她有勇于尝试的勇气，她想到用乘法来逆推，说明她已经具备一定的逻辑思维和推理能力，即使推导的方法不正确，但她的这种想法和行为是值得赞赏的。 

在这次考试中遇到了除数是两位数的除法，不仅没让她对数学感到气馁，反而还激发了她想要学习的欲望，所以在尽快巩固了之前所学的内容后她开始了人教版四年级数学的学习，学习进度又是不出所料地突飞猛进。当学到除数是两位数的除法时，对于将除数看成一个整体的这个知识点的理解对她来说也确实是一个难点，不过她最终还是通过慢慢地领悟和体会，做到了真正地理解。 

当女儿三年级学年末第二次参加学校的MAP考试时，她已经能够非常轻松地应对这部分的试题了，这就导致她的试题难度又上升了一个档次，在她的考试中竟然出现了包含x、y的一次、二次方程的题目。正如我所料，这之后她又对方程的数学知识产生了兴趣，在我简单地为她做了讲解后，她能一下子就明白其中的含义，知道了解方程的基本方法。 

让我感到开心的，不是女儿取得的考试成绩，而是她在考试过程中遇到未知题目时能够不轻易放弃，积极地思考，和她做出的大胆地推测、假设、分析、验证的一系列举动。还让我感到欣喜的，是女儿完全不把考试当成一个负担，反而还能从中获得真正的快乐，引发她继续探索的热情和动力，和要继续把数学学好的信心和勇气，实属难得。